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在数学核心素养下看安徽中考数学试题的“稳”与“新”
  • 来源于:马鞍山市成功学校
  • 时间:2020-04-12
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秉承“立德树人,引导教学,服务学生发展”的理念,安徽中考命题始终追求“稳中求变,变中求新”,数学尤为如此.每一年的中考数学试题顺应时代发展,充分体现“立德树人”,提升学生的“四基”、“四能”,落实“五育”方针,并将数学核心素养跃然纸上.细品试题则光彩夺目,尽显风采.

“稳”,从表面看是因为安徽中考数学题量、题型没有太大变化,甚至有些题是必考题,有些题高频出现.实质上之所以必考或高频出现,是因为试题本身充分体现数学核心素养;体现学生的能力的培养.“变”,目的之一是在数学核心素养条件下,更多的考查学生的分析问题和解决问题的能力,为高中数学学习的衔接奠定基础,从而更好地过渡.目的之二就是求“新”,求新不仅仅在“变”中体现,还体现了近几年中考数学关注的“新热点”.下面笔者将“稳”与“新”例举近几年的部分试题进行简析,与同行分享,不足之处请指正.

一、“稳”——高频出现的试题分析

(一)“数学眼光”看得准,所以稳

1.大数的科学记数法.此类题每年必考一题,而且都以大数进行考查,涉及的面主要来源于强省强国方面。如:2019年中考试题第4题,“2019年“五一”假日期间,我省银联网络交易总金额接近161亿元,其中161亿用科学记数法表示为( )”,强省;2018年中考试题第4题,“截止2016年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元,其中1600亿用科学计数法表示为( )”,强国等。之所以高频出现,原因之一在于科学记数法的应用领域比较广泛,它是自然学科的基本工具.二是主要体现在用数学眼光去看其他学科,用数学的知识理解并应用到其他学科,为培养数学核心素养的奠定基础.

【复习建议】复习过程中抓住概念,关注国家和省的一些重要数据,同时关注一些“小数”的科学记数法.

2.三视图.此类题也是每年必考题型,且有一题,主要考察我们熟悉的几何体、简单的几何组合体或常见的仪器、用品等.如:2019年中考第3题考查的就是圆柱和长发体的组合体;2018年考查的是圆锥和圆柱的组合体;17年考查的是化学仪器等.从考试内容分析,基本考查比较单一,相对简单。三视图的考查是为了学生在高中学习立体几何的过渡,重在培养学生几何直观和空间想象能力,培养学生通过直观想象感知事物的形态和变化.促进学生分析问题、解决问题的能力.

【复习建议】复习过程中可以尝试三视图的逆向思维的考查,或多种形态的考查.注重发展学生的应用意识和创新意识.

3.分类讨论思想.从2017年中考开始,安徽中考数学在分类讨论考查上,主要集中在填空题的最后一题,让分类讨论思想更加具体化和稳定化.从某种意义上说降低分类讨论的思想方法,却提升了核心素养的价值.此类题这三年里,2017年和2018年考查的是几何问题,2019年考查的是二次函数问题.重在考查学生能够利用空间形式或图形描述认识问题的运动规律,能够建立形与数的联系,构建直观模型,从而解决问题.

【复习建议】此类问题的复习可以在第二轮复习中,以专题的形式来进行讲解.针对一些典型的二次函数分类讨论题和典型几何分类讨论题等进行分析,探索并归纳一些解决问题的方法的内在联系和规律,提升复习效果.

4.数式图形找规律.“找规律”也是高频出现的考题,基本以解答题的形式出现,难度属于简单题或中等题为主.近四年,每年均有出现.如:2019年第18题,2018年第18题,均考查的是数式规律;2017和2016年均以图形形式来考查.此类问题重在考查学生,从数与数之间的关系、图形与图形的关系、数与图形的关系中,抽象出数学的一般规律和结构,并用数学语言进行表征.充分体现数学抽象能力和逻辑推理能力的培养,之所以高频出现就显然易见了.

【复习建议】在复习中,此类问题可以作为专题形式来讲解.其一,从基本的熟悉数式关系找起,然后进行变式.如自然数的平方,以及等;再如,简单的等差数列和等比数列及其求和过程的规律等.其二,就是关注常见的一些图形规律和一些简单的“无字证明”题,关于图形与数之间的关系的规律.

5.网格图中的图形变换.此类试题近十年中属于必考题,此类问题主要考查初中阶段的全等变换——平移、轴对称、旋转(中心对称)和相似变换——位似(内位似和外位似).这四种变换中,考查基本是不超过其中的两种.如2019年只考查了平移;2018年考查的是位似和旋转;2017年考查的是平移和轴对称等.《义务制教育教学课程标准(2011年版)》明确指出“双基”目标转向为“四基”目标,其中“基本活动经验”就是所加之一.另外,除了网格图中考查作图,近几年尺规作图也时有出现.意在通过学生的基本活动来培养学生数学直观想象的能力,并促进学生认识事物形态与变化的能力的培养.

【复习建议】此类复习较为简单,在复习中可以不必花太多时间.一是要着力于细节——平移的两要素、轴对称的一要素、旋转的三要素、位似的两要素及多种情况,字母的标注等.二是适当延伸,如在图形变换中求面积、求弧长、求最短距离、求三角函数等.

(二)“数学语言”道得明,所以稳

1.增长率问题.增长率问题时安徽中考一直关注的考点,考查的基本以实际应用为主.其背景大多体现强国强省,以及关注度高的民生问题等.如2019年考查的是国内生产总值的增长,2018年我安徽的有效发明专利数的增长等强省强国的问题;2017年考查的药品降价问题等.不过考查的是增长率还是减少率,都是顺应时代发展,有利于人民利益的问题.当然,这不是此类问题高频出现的主要原因,实则培养学生方程意识,构建方程来解决问题——.重在培养学生通过实际问题情境从数学的角度发现问题的能力,并对问题数学抽象,进而模型化,从而达到解决问题的目的.为提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力提供保障.

【复习建议】此类试题相对较为简单,在中考试题中属于简单题.在复习过程中提醒学生

认清模型中“”、“”和“2”所表示的意义,并且要强调学生仔细读题,以防所列方程出现错误.如:一月份为,经过两个月的增长,第一季度共有,设平均每月的增长率为,则方程为?这个时候方程应为:.因此,复习不要机械化,要学生理解模型的缘由,这样才能使复习有效.

2.函数图像的甄别.此类试题大多出现在选择题中,一般属于中难度题.主要考查形式有根据系数的大小确定函数图像的位置、根据生活情境来描绘函数图像、结合几何图形的动态变化来确定函数图像等.如:2018年选择题第10题考查的是几何图形变化问题,此类问题的函数图像大多为分段函数,属于难题;2017年选择题第9题,把一次函数、反比例函数、二次函数结合一起,通过系数的大小判断确定函数图像问题,综合性很强;2016年选择题第9题考查的是实际生活问题等.通过考查的形式可以看出,试题千变万化,但再变都离不开对学生解决问题能力的考查——让学生在问题情境中发现问题、提出问题、分析问题、建立模型,通过必要的计算改进模型,最终解决问题.

【复习建议】此类问题的复习在第二轮复习中以专题形式进行解析.先从近几年中考真题分析,抓住问题的本质——函数图像的确定.尤其是几何图形动态问题的解析,引导学生如何进行分类,怎样确定分段函数的界点,如:时间节点进行分类、图形形状变化进行分类、运动的点所在位置不同来进行分类等.

3.解直角三角形的应用.此类题是安徽中考必考题,多以实际应用为主.主要考查学生的通性通法,回归定义.如:2019年结合数学文化以及圆的性质进行综合考查;2018年考查仰角求高度;2017年考查的求山高等.不管考查哪类实际问题,其最大特点是构造的直角三角形一般不超过两个,也就是说最多解两个直角三角形.而问题解决的关键在于通过题目给的角,来构造直角三角形,依据解直角三角形的概念解决即可——抓住题目中所给的边,如果缺边,往往要设未知数,通过线段相等、相似、三角函数、勾股定理灯等建立方程.此类问题的必考,不仅仅是知识的综合性和实用性,更是体现学生解决实际问题的能力,从而进一步促进学生构建模型意识的提升.

【复习建议】解直角三角形的应用,是属于简单题或中等题,在中考中是易得分的题目.在复习中首先要注意的是如何构造想要的直角三角形——引导学生观察题目所给的角和边;其次,当题中直角三角形没有边时,引导学生设未知数建立方程;最后注意细节,如单位、精确度、答等.

4.二次函数的建模和应用.近十年的安徽中考数学题中,2019年考查的是构造与线段长有关的二次函数;2018、2017、2013、2010这四年考查的是利润最值问题;2016、2015考查的是面积最值问题;2014年考查的是新定义概念的问题;2012年考查的球类运动的问题;2011年则把几何图形以及二次函数结合一起考查.从考查的角度和范围来看,考查的方向并没规律可循,唯一可以看出来的是重新构造二次函数,考查二次函数的性质.之所以每年必考,其一是因为知识的重要性和实用性.数学来源生活,更要应用于生活,让学生认识到数学知识的实用价值.其二,培养学生的内在素养,培养学生建模思想,培养学生把生活问题抽象成数学问题,用数学方法构建模型解决实际问题的能力.

    【复习建议】此类问题的复习,除了第一轮复习中分析讲解一些简单的实际问题外,在第二轮复习中还可以适当地专题性复习.从考查频率来看,利润最值问题是重点. 函数建模问题,实则有一基本规律可循:求系数(解析式)→利用已有的函数构建新的二次函数模型→配方(求顶点坐标)→确定自变量取值范围→确定最值.当然,在复习中还要注意一些细节,求最值时,务必要看清自变量取值范围,不能盲目地认为顶点纵坐标就是最值.除此之外,还要我们老师关注当年的重大时事.2008年汶川大地震,最后压轴题就是考查相关的问题.2020年更是不寻常的一年,新冠肺炎席卷全球,那命题人会不会在这作“文章”呢?怎么作呢?有待我们老师探索和发现.

5.从图表中读取统计信息及概率.从知识的难易程度来看,此类问题属于中等或简单题.近10年的考查主要一道选择题和一道解答题,分值16分左右.考查形式主要有以下三种:一是选择考统计,解答考概率(如2014年);二是选择考概率,解答考统计(如2011年,2012年);三是选择考统计,解答考统计概率综合题(如2019年);数学核心素养的第六大核心素养就是数据分析,必考那就再所难免了.

【复习建议】此类复习相对比较简单,抓住统计中的特征数,了解平均数、中位数、众数的概念,会计算方差及方差的意义.概率方面,一要学生了解几个典型的试验:掷骰子、抛硬币、摸球等,引导学生任何一个求概率向这三个典型试验进行类比;二要引导学生任何一个事件转化成分步试验,类比摸球试验,分两种情况来理解——放回或不放回.另外,还要抓住一些细节.比如:计算、补全图形、概率中放回或不放回等.

(三)“数学思维”拓得广,所以稳

从数学学科核心素养来理解,数学思维包括逻辑推理和数学运算.数学运算贯穿于整个试卷,逻辑推理重在解决几何问题,下面就安徽中考数学试题中高频出现的问题简单描述一下.

1.实数运算.实数运算包括加、减、乘、除、乘方、开方、三角函数值、二次根式、绝对值等,近十年安徽中考中,2018年、2017年、2016年、2014年和2013年都有考查,而考查中不难发现,上述计算中一般不超过5种.除了纯粹的实数运算之外,解方程、解不等式、分式的化简求值等也是考查运算的问题.

【复习建议】这类问题在中考中属于简单题,一般不会出现丢分,但有些易错的计算需要我们老师提醒学生注意.比如:绝对值的化简、负整数指数幂、特殊三角函数值等.

    2.组合图形综合题.这类题基本属于难题或较难题,一般出现在压轴题或倒数第二题,近几年基本是压轴题为主.此类问题基本是由特殊到一般的推理或一般到特殊的推理,推理的形式主要以类比为主,充分体现逻辑推理的本质.不仅如此,问题解决的方法往往是多种多样的.如2018年安徽中考最后一题,范宏业老师的《一题一世界,平淡蕴传奇》(详见《中学数学研究》2019年第4期)一文中,提出了27中证明方法.可以用相似来证,可以用面积法来证,可以用解直角三角形来证,可以用全等来证,可以用等腰三角形性质来证,可以构造特殊四边形来证,可以用解析法来证等等.可见,思维的广度和深度.之所以“稳”,也就不难理解了.

【复习建议】此类问题的复习以专题形式来进行讲解,平时也可以给学生每天或每周布置1到2题,要学生独立思考,带着去讲解,时刻拓展学生的思维.解决此类问题,一定要引导学生题目的特点——阶梯型,也就是说第(1)小问是基础,是解决后面问题的基石.引导学生第(1)小题中的结论和图形,然后进行迁移和类比.在迁移和类比的过程中,抓住一些常见的模型,比如“一线三等角”——必有相似、“手拉手”——相似成对出现等.另外,还有一些常作的辅助线,比如有中点,就要想到中位线、直角三角形斜边上的中线、倍长、面积相等等;再如等腰三角的“三线合一”等.这些重要的模型和辅助线需要我们老师长时间的积累和总结,探索一些基本规律,长时间下去,学生的思维空间一定会得到大幅度的提升.

二、“新”——关注新热点的试题分析

1.注重数学文化,培养爱国情怀.近几年的安徽中考数学试题,数学文化的渗透尤为明显.2019年,借助徐光启在《农政全书》中用图画描绘筒车的工作原理为背景,把圆的相关性质和三角函数综合在一起,新意十足.2018年,考查的是《孙子算经》里的“百鹿进城”的方程问题.2017年,考查的是《九章算术》里的“盈不足术”的方程问题.这是近三年连续对数学文化进行考查.

党的十九大明确指出:“要全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务”.而历史文化是民族之根,是立德树人的一大体现.此类问题将中华古代数学文化融入其中,让学生在解答过程中树立民族自信、文化自信,厚值爱国主义情怀,增强民族自豪感,赋予了数学学科核心素养的意义.

【复习建议】此类问题难度不是很大,属于简单题或中等题,在复习过程中,可以找一些有关数学文化的试题,尤其是可以用方程来解决的问题,不仅仅是以上提到的古书籍里的问题,只要涉及到数学文化的问题都可以讲解.另外,从2019年试题不难发现,以数学文化为背景的综合题是值得我们老师关注的.

2.“四基”中基本活动经验之“尺规作图”.在上面已提到网格图中的作图,这是每年必考的,而在2018年,考查到了尺规作图题——作角平分线.这不难让我们老师引起重视,尺规作图是学生动手操作能力的体现,特别是一些基本作图,由此来展现学生的基本素养,同时也体现了学生逻辑思维能力的培养.

【复习建议】要求学生必须掌握基本的尺规作图,如:作线段等于已知线段、作角等于已知角、作线段的垂直平分线(作外接圆)、作角平分线(作内切圆)、黄金分割点、等分圆等.由于作图只是试题的一小部分,因此还要学生了解和掌握相关的一些计算和证明.

3.几何最值问题.几何最值问题的考查是一类难度较大的题,考查形式多样,涉及的知识点比较多.2019年选择题压轴题,实质上就是确定PE+PF的最小值,即考查的“将军饮马”问题.2017年考查的是点的轨迹和“将军饮马”问题;2016年考查的是“隐形圆”问题.近四年中考了三年,是值得我们老师关注的新热点问题.这类问题再一次将学生的思维拓展到一个深度,同时也体现了学生的建模思想.通过几何图形的形态变化,在静与动的思维过程中,构建模型,从而解决问题.

【复习建议】一是要在二轮复习中以专题来进行渗透分析讲解.二是要学生掌握基本事实——垂线段最短和两点之间线段最短,由这两个基本事实下构建的几何模型——“将军饮马”、“隐形圆”、“阿氏圆”、“胡不归”等.另外,还要学生掌握一些简单的轨迹,如角平分线、垂直平分线、圆(往往就是隐形圆)、平行线等.“将军饮马”问题的考查,基本上都是需要我们转化,比如三角形周长问题、四边形周长问题、“天桥问题”等.有时候也结合垂线段最短、点的轨迹等进行综合考查.其中隐形圆的考查,主要要求学生掌握四点共圆或者通过图形的运动判断点的轨迹是否为圆.当隐形圆出来时,怎么样求最大,怎么样求最小——关键找圆心和半径——实质也是两点之间线段最短的引申和拓展.

4.代数运算的升级.从2019年的第9题不难发现,考查了等式与不等式的运算,涉及到消元、归一、整体代入等重要思想以及完全平方公式的意义,综合性很强,属于中难度题.此类问题的升级,实则是对数学思维拓广的再升级.是数学学科核心素养不可或缺的一部分,并且再次促进学生分析问题、解决问题能力的提升.

【复习建议】“代数”,顾名思义就是用字母来代替数.所以在复习的过程中,要培养学生的代数式运算能力,并且从中渗透一些中的思想方法,如:消元思想(加减或乘除)、换元思想、化归(归一)思想、整体思想、降次思想、方程思想等.

5.统计概率成“一家”.自2017起,连续三年(近三年)都是把统计和概率放在一起进行考查.2017年之前都是单独考查,所以这也是我们老师应该关注的新热点问题.统计的考查重在培养学生的数据分析能力,包括收集数据、整理数据、提取信息、构造模型、进行推断、获得结论的过程,从而培养学生收集整理数据获取信息的统计思想以及对信息进行分析、推断、获得结论的能力.由于问题基本以实际问题为背景,所以此类问题的考查还在实际问题数学化,数学知识生活化.同时,统计概率在一起考查,也体现了学科的统一性和融合性.这可能是近几年中考的趋势.

【复习建议】同一(二)5中的复习建议,除此之外,还要加强统计概率综合问题的训练,尤其是概率的计算,树形图或列表的画法等.

三、小结

安徽中考数学试卷,整体质量是很高的.命题基本由能力立意走向素养立意,今后将是能力和素养综合立意的趋势,服务于学生的长期发展.为了与高考有效衔接,命题突出基础性、综合性、应用型和创新性,考查学生必备知识、关键能力、学科素养;落实“立德树人”的根本任务,加强“五育”的渗透,体现“四基”、“四能”;彰显“价值引领、素养导向”的命题理念.结合数学学科核心素养,安徽中考数学试卷“稳”的有道理、有保障,“新”的有创意、有时代感.

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